用DeepSeek计算了一道据说小学生全军覆没的几何图

嗯，用户上传了一张图片，里面是一个由四个小方块组成的正方形。其中左下方的方块面积是4平方厘米，右上方的方块是7平方厘米，另外两个没标。用户的问题是要找阴影部分的面积，不过图片里阴影部分具体是哪个区域呢？可能用户之前提过阴影部分，但现在描述里没提到。不过根据常见的类似题目，阴影可能是两个未标注面积的部分，或者其中某一个。或者可能整个大正方形被分成了四个小方块，阴影部分可能是其中两个的组合？

首先，整个图形是一个大正方形，分成四个小方块。每个小方块可能都是矩形，但组合成一个大正方形。那四个小方块的面积分别是左下方4，右上方7，另外两个未知。需要找到阴影部分的面积。

假设整个大正方形的边长为S，面积就是S²。四个小块的面积总和应该等于S²。但题目里只给了两个面积，所以可能需要通过比例或者其他几何关系来找到另外两个的面积。

首先，这四个小方块是如何排列的？可能分成两行两列，形成四个矩形。比如，左下是4，右上是7，剩下的两个是左上和右下。或者可能排列成其他方式？需要明确各个方块的位置。

假设四个小方块排列成2×2的网格，左下方是面积4，右上方是7。那么整个大正方形的边长是a + b和c + d，其中a和c可能是某个方向的边长，b和d是另一个方向。不过因为整个图形是正方形，所以长和宽相等，即a + b = c + d。

不过可能更简单的方式是，每个小方块的行和列的边长有比例关系。比如，左边的两个小方块在垂直方向上可能有相同的高度，右边的两个也有相同的高度，但左右两边的宽度可能不同。或者上下两行的高度不同，但左右的宽度相同？

或者，可能四个小方块的行和列的比例使得整个大正方形的边长被分为两部分，比如横向分为x和y，纵向分为m和n，这样四个小块的面积分别是xm, xn, ym, yn。这样的话，面积之间可能存在比例关系。

例如，假设大正方形的边长为s，横向分为两部分x和y，纵向分为m和n，所以x + y = s，m + n = s。四个小块的面积分别是xm, xn, ym, yn。现在已知其中两个面积，比如左下方是xm=4，右上方是yn=7，那么剩下的两个面积是xn和ym。整个大正方形的面积s² = xm + xn + ym + yn = (x+y)(m+n) = s*s = s²，所以没问题。

但如何找到x, y, m, n之间的关系呢？可能需要更多的信息。比如，如果行和列的比例相同，或者某个比例关系存在。

或者，假设横向分割的比例和纵向分割的比例相同。比如，横向分为x和y，纵向分为m和n，并且x/y = m/n。这样的话，比例相同，可能可以解出各个变量。

例如，假设x/y = m/n = k，那么x = ky，m = kn。然后代入已知的面积：

左下方面积xm = ky * k*n = k² y n = 4

右上方面积y*n =7

所以k² *7 =4 →k²=4/7 →k=2/√7

然后整个边长s =x + y =k y + y = y(k+1) = y*(2/√7 +1)

同样，纵向的边长s =m +n =k n +n =n(k+1)

因为横向和纵向的边长相等，所以 y*(k+1) =n*(k+1) →y =n

这可能吗？或者可能还有其他关系？

或者，可能四个小块的面积之间存在某种乘积关系。比如，左下方是4，右上方是7，那么另外两个面积可能是sqrt(4 * 7)=sqrt(28)，但不确定。

或者，考虑整个大正方形的面积是四个小块的面积之和，即4 +7 +a +b =s²。但需要找到a和b的值。

不过可能更有效的方法是，利用行和列的比例关系。例如，假设横向分为两部分，左边宽度为a，右边宽度为b，纵向分为下边高度为c，上边高度为d。那么整个正方形的边长为a + b = c + d = s。

左下方面积是ac=4，右上方是bd=7。剩下的两个面积是ad和bc。阴影部分可能指的是这两个中的某一个，或者它们的和。

如果阴影部分是另外两个未标注的区域，比如左上和右下，那么可能需要求它们的面积之和或单独某一个。但用户没有明确说明，所以可能需要假设常见的阴影部分情况，比如相邻的两个或者对角的两个。

假设阴影部分是左上和右下，即面积ad和bc，那么需要求它们的和或者单独某个。或者可能阴影部分只是其中一个区域，比如右下方的那个。

但题目没有说明，可能需要进一步分析。不过通常这类题目可能要求求某个特定的组合，比如相邻的两个或者对角的两个的面积之和。

不过，根据常见的类似题目，可能阴影部分是两个相邻的块，比如左上和右上的总和，或者左下和右上的总和。但需要更多的信息。

或者，可能整个大正方形的面积是四个块之和，即4 +7 +a +b =s²，而s是边长，所以s² = (a + b)^2。但如何找到a和b？

可能需要利用比例关系。例如，横向的分割比例a/b等于纵向的分割比例c/d，或者类似的关系。

假设横向分割为a和b，纵向分割为c和d，那么根据面积：

ac=4，bd=7

同时，a + b = c + d = s

如果假设a/b = c/d，即横向和纵向的分割比例相同，那么可以设a/b = c/d =k

那么a =kb，c =kd

代入a +b =s →k*b +b =b(k+1)=s

同样，c +d =k*d +d =d(k+1)=s →所以b(k+1)=d(k+1) →b =d

因此，d =b

然后，面积ac =kb kd =k^2 bd =k^2 *b^2 =4

而b*d =b^2 =7 →所以k^2 *7 =4 →k^2=4/7 →k=2/√7

因此，s =b(k+1) =b*(2/√7 +1)

同时，整个面积s² = (a +b)^2 = (kb +b)^2 =b²(k+1)^2 =7( (2/√7 +1)^2 )

但可能不需要计算s，而是求另外两个面积ad和bc：

ad =kb d =kb^2 =k*7 = (2/√7)*7=2√7

同样，bc =bkd =kbd =k7=同样也是2√7

所以剩下的两个面积都是2√7，那么总和是4√7。但这样整个大正方形的面积是4 +7 +2√7 +2√7=11 +4√7，而s²=(a +b)^2= (kb +b)^2= b²(k+1)^2=7( (2/√7 +1)^2 )

展开计算：

(2/√7 +1)^2 = (1 + 2/√7)^2 =1 +4/√7 +4/7

所以s²=7*(1 +4/√7 +4/7)=7 +4√7 +4=11 +4√7，和之前的面积总和一致。

但用户的问题是要找阴影部分的面积，可能阴影部分是这两个剩下的面积之和，即4√7，或者其中某一个。不过可能题目中的阴影部分指的是两个未标注的区域，所以答案是2√7 +2√7=4√7？

不过这可能比较复杂，或者有没有更简单的方法？

或者，考虑四个小块的面积，可能存在交叉相乘相等的性质。例如，在分割成四个矩形的情况下，面积可能有ac=4，bd=7，而ad和bc是另外两个面积。根据交叉相乘，ac * bd =4 * 7=28，而ad bc= (ab cd)=同样也是28，所以ad bc=28。因此，剩下的两个面积的乘积是28，而它们的和是未知的。但整个大正方形的面积是4+7+ad +bc=11 +ad +bc= s²。同时，s= a +b =c +d。可能需要更多的条件，但这里可能无法直接解出。

不过根据之前的假设，当横向和纵向的分割比例相同时，剩下的两个面积都是2√7，所以总和是4√7，而整个面积是11 +4√7。但这样可能不是整数，而用户可能期待一个整数答案，所以可能我的假设有问题。

或者，可能不需要假设分割比例相同，而是通过其他方式。

例如，设大正方形的边长为s，左下块面积为4，右上的为7。设左下块的宽度为x，高度为y，所以xy=4。右上块的宽度为s -x，高度为s -y，所以(s -x)(s -y)=7。然后整个正方形的面积是s²=4 +7 +另外两个块的面积。另外两个块的面积分别是x(s -y)和y*(s -x)。所以总和是4 +7 +x(s -y) +y(s -x)=s²= s²，这显然成立。

现在需要解方程组：

x*y=4

(s -x)(s -y)=7

同时，s =x + (s -x) =s，同样纵向也是s =y + (s -y)=s。所以方程组是：

x y =4

(s -x)(s -y)=7

展开第二个方程：

s² -s x -s y +x y=7 →s² -s(x + y) +4=7 →s² -s(x + y)=3

但还有另一个方程，整个正方形的面积s²=4 +7 +x(s -y) +y(s -x)=11 +x s -x y +y s -x y=11 +s(x + y) -2x y=11 +s(x + y) -8=3 +s(x + y)

所以s²=3 +s(x + y)

但根据之前得到的s² -s(x + y)=3 →s²=3 +s(x + y)，所以这两个方程是一致的，没有新信息。因此需要找到其他关系。

可能需要引入变量，比如设x + y =k，那么s² -s k=3 →s²=3 +s k

同时，另一个方程是s²=3 +s k，所以这并没有帮助。可能需要另一个变量。

或者，设x + y =k，x y=4，那么根据这两个，可以表示x和y为二次方程的根：t² -k t +4=0

同样，s -x和s -y的和是2s -k，积是(s -x)(s -y)=7

所以，可以展开：

(s -x)(s -y)=s² -s(x + y) +x y= s² -s k +4=7 →s² -s k=3，这和之前一致。

现在，s²=3 +s k，而s²=3 +s k，所以这并没有帮助。可能需要另一个方程。

或者，考虑x和y的差。例如，设d =x – y，那么x = y +d。代入x y=4，得到(y +d)y=4 →y² +d y -4=0

同时，s= x + (s -x) =s，这可能没用。或者，s是正方形的边长，但横向和纵向的边长都是s，所以横向分割为x和s -x，纵向分割为y和s -y。

可能需要另一个角度。例如，假设横向分割为x和s -x，纵向分割为y和s -y，那么四个面积分别是x y, x (s -y), (s -x) y, (s -x)(s -y)。已知x y=4，(s -x)(s -y)=7，求另外两个面积x(s -y) + y(s -x)或者其中某一个。

但如何找到x和y的值呢？

可能需要联立方程：

从x y=4，(s -x)(s -y)=7

展开第二个方程：s² -s x -s y +x y=7 →s² -s(x + y) +4=7 →s² -s(x + y)=3 →s(x + y)=s² -3

另外，整个正方形的面积s²=4 +7 +x(s -y) +y(s -x)=11 +x s -x y +y s -x y=11 +s(x + y) -2 * 4=11 +s(x + y) -8=3 +s(x + y)

但s²=3 +s(x + y)，而根据上式s(x + y)=s² -3，代入得s²=3 +s² -3 →0=0，这没有帮助。

看来需要引入其他变量或方法。例如，设s为正方形的边长，x为左下块的宽度，y为左下块的高度，所以x y=4。右上块的宽度是s -x，高度是s -y，面积是(s -x)(s -y)=7。我们需要找到x和y的值。

展开第二个方程：

(s -x)(s -y)=s² -s x -s y +x y=7 →s² -s(x + y) +4=7 →s² -s(x + y)=3 →s(x + y)=s² -3

现在，我们需要找到x和y的关系。假设x和y的比例为k，即x=ky。代入x y=4，得到ky²=4 →y²=4/(k)

同时，x + y=ky + y=y(k +1)

而s= x + (s -x)=s，这没用。或者，s是正方形的边长，所以横向的宽度是x + (s -x)=s，纵向的高度是y + (s -y)=s，这也没问题。

现在，s(x + y)=s² -3 →s(x + y)=s² -3 →x + y= s -3/s

但x=ky，所以ky + y= y(k +1)=s -3/s →y= (s -3/s)/(k +1)

同时，y²=4/k →y=√(4/k)=2/√k

代入上式：

2/√k = (s -3/s)/(k +1)

这可能比较复杂，但或许可以假设s为整数，试一些值。例如，假设s=5，那么s²=25，但总面积是4+7+a+b=11+a+b=25 →a+b=14。但不确定是否合理。

或者试s=4，s²=16，总面积11+a+b=16 →a+b=5，可能。

但代入第二个方程：

(s -x)(s -y)=7 →如果s=4，那么(4 -x)(4 -y)=7 →可能x和y是分数，例如，假设x=2，y=2（因为x y=4），则(4-2)(4-2)=2 * 2=4≠7，不符合。

再试s=5：

(5 -x)(5 -y)=7，同时x y=4。例如，假设x=1，y=4，那么(5-1)(5-4)=4 * 1=4≠7。不行。或者x=2，y=2，则(5-2)(5-2)=3 * 3=9≠7。或者x=4，y=1，则(5-4)(5-1)=1 * 4=4≠7。都不行。

试s=6：

(6 -x)(6 -y)=7，x y=4。例如，x=2，y=2，则(6-2)(6-2)=4 * 4=16≠7。x=1，y=4，则(6-1)(6-4)=5 * 2=10≠7。x=4，y=1，同样结果。不行。

试s=√(11 +4√7)，这可能比较复杂，但可能不是整数。

看来这种方法可能行不通，需要换一种思路。

回到之前的假设，当横向和纵向的分割比例相同时，即a/b = c/d=k，那么剩下的两个面积都是2√7，总和是4√7。但用户可能希望答案更简洁，比如整数或者分数。

或者，可能阴影部分指的是一个特定的区域，比如左上和右下的面积之和，或者其中某一个。例如，如果阴影部分是左上和右下，即面积ad和bc，根据之前的计算，这两个面积都是2√7，所以总和是4√7。但可能用户希望答案以其他形式呈现。

或者，可能我的假设有误，应该考虑不同的排列方式。例如，四个小方块可能不是两行两列，而是其他排列方式。例如，大正方形被分成四个小正方形？但题目中说每个小方块的面积是4和7，显然不可能是小正方形，因为4和7的平方根不是整数，无法组合成大正方形的边长。

因此，四个小块都是矩形，排列成两行两列，形成大正方形。

另一种思路：设大正方形的边长为s，左下块的面积为4，右上块为7。设左下块的宽为a，高为b，所以ab=4。右上块的宽为s -a，高为s -b，所以(s -a)(s -b)=7。整个正方形的面积s²=4 +7 +a(s -b) +b*(s -a)=11 +a s -a b +b s -a b=11 +s(a +b) -2 * 4=11 +s(a +b) -8=3 +s(a +b)

同时，s²=3 +s(a +b)

另外，从第二个方程(s -a)(s -b)=7 →s² -s(a +b) +a b=7 →s² -s(a +b) +4=7 →s² -s(a +b)=3 →s(a +b)=s² -3

代入到s²=3 +s(a +b)中，得到s²=3 +s² -3 →0=0，这说明方程是依赖的，没有唯一解。因此，可能需要另一个条件。

这时候可能需要引入几何关系，比如，大正方形的边长s必须满足某种条件，使得a和b为实数正数。

例如，从s(a +b)=s² -3 →a +b= s -3/s

同时，a*b=4

所以，a和b是二次方程t² – (s -3/s)t +4=0的根。这个方程必须有实数解，因此判别式必须非负：

(s -3/s)^2 -16 ≥0

展开：

s² -6 +9/s² -16 ≥0 →s² +9/s² -22 ≥0

令u=s²，则方程变为u +9/u -22 ≥0 →u² -22u +9 ≥0

解这个不等式：

u² -22u +9=0 →判别式=484 -36=448 →根为[22 ±√448]/2= [22 ±8√7]/2=11 ±4√7

因此，当u ≤11 -4√7 或u ≥11 +4√7时，不等式成立。但u=s²>0，所以s²必须≥11 +4√7 或≤11 -4√7。但11 -4√7≈11-10.583=0.417，所以s²至少为11 +4√7≈17.583。

因此，s=√(11 +4√7)，这可能是一个解。

然后，a和b的和为s -3/s，积为4。所以，阴影部分的面积可能指的是另外两个区域的面积，即a*(s -b)和b*(s -a)。计算它们的和：

a*(s -b) +b*(s -a)=a s -a b +b s -a b= s(a +b) -2ab= s*(s -3/s) -8= s² -3 -8= (11 +4√7) -11=4√7

所以，阴影部分的面积是4√7平方厘米。

这可能就是答案。因此，阴影部分的面积是4√7 cm²。

$$a\cdot b=4$$

$$(s-a)(s-b)=7$$

s2−s(a+b)+ab=7⟹s2−s(a+b)=3